تئوری استحکام در ریاضیات

فکر کردن درباره‌ی سخت پایی یا استحکام می‌تواند سبب انعطاف پذیری شود. این درسی بود که دیودنی در یک تابستان، که به همراه پدر و پسرش جانتن در شمال کانادا مشغول تعمیر کلبه‌ی ییلاقی خود بودند، آموخت. او می‌گوید پدرم برای مرمت و لکه گیری محل نشت آب از سقف، چوب بستی از تیرهای صنوبر تازه بریده شده ساخته بود. وقتی که او و جانتن به بالای آن رفتند چارچوبه‌ی زمخت و محکم غِژغِژکنان شروع به تاب خوردن کرد. من یادآوری کردم که چوب بست اندکی ناپایدار به نظر می‌رسد، اما پدرم به طعنه گفت چطور چنین چیزی می‌شود؟ این، تحمل وزن ده نفر را دارد و من حداقل تیرهای لازم برای چنین تحملی را در ساخت چوب بست به کار برده‌ام. آخر، جر و بحث کردن با پدرم که چوبکاری ماهر و ریاضی دانی آماتور بود چه فایده‌ای داشت؟ به این جهت به درون کلبه بازگشتم تا به خرده کاری‌های روزانه‌ام بپردازم. هنوز یک دقیقه نگذشته بود که صدای غِژ و گُمب و دو فریادِ بلندِ ناشی از وحشت زدگی شنیدم. سراسیمه به بیرون پریدم و جانتن و پدرم را دیدم که روی خزه‌ها ولو شده بودند. چوب بست، درهم شکسته شده بود. هر دوی آن‌ها بلند شدند و پدرم، شرمسار از کار خویش، با نیشخند گفت لعنتی، اصلاً فکرش را هم نمی‌کردم! لازم نیست پدرم را به خاطر ساختن یک داربست ناپایدار سرزنش کنم. قرن‌هاست که حتی ریاضی‌دانان و مهندسان هم از جنبه‌ی نظری و هم از لحاظ عملی تلاش زیادی برای ساختن داربست‌های مستحکم (سخت پای) به عمل می‌آورند. ریاضی دانان این را نظریه‌ی سخت پایی یا استحکام می‌نامند. تصمیم گرفتم به این موضوع بپردازم به این امید که با دست‌یابی به بینش‌هایی چند، شاید خانواده‌ی خود و سایرین را از گزند آسیب‌های بیش‌تر مصون دارم. علاوه بر این، تحقیق من به طرح مجموعه‌هایی سرگرم کننده برای گیج کردن ذهن انجامید.
متخصصانِ نظریه‌ی استحکام یا سخت پایی ترجیح می‌دهند که داربست‌های خود را از میخ و چوب (تیر) صنوبر نسازند. در عوض آن‌ها یک مجموعه ساختار ذهنی متشکل از تیرهای انتزاعی در اختیار دارند که با هیچ نیرویی، ولو به مقدار زیاد، نمی‌توان آن‌ها را بسط داد، تحت فشار درآورد، و یا خم کرد. طول این‌گونه تیرها به تمامی در ذهن، قابل تغییر و تبدیل‌اند و با مماس شدن هر دو انتهای دو یا چندتایی از آن‌ها «لولایِ جهانیِ آنی» تشکیل می‌شود. این لولا به گونه‌ای است که هر دو تیر حول آن می‌گردند مگر این که سایر تیرهای رابط مانع حرکت آن‌ها بشوند.
برای مثال فرض کنیم داربستی به شکل مکعب، متشکل از دوازده تیرِ هم‌اندازه، ساخته باشیم. این داربستِ مکعب شکل، محکم و پایدار نیست، زیرا اگر آن را روی میز بگذاریم در یک آن فرو می‌ریزد. درواقع اگر این‌گونه داربست‌ها مستحکم بودند پل‌ها و برج‌ها نیازی به تیرهای تقویت کننده‌ی مورب (تیرهای قطری) نداشتند. من کوشیدم با افزودن تیرهای مورب به برخی از وجوه شش‌گانه‌ی مکعب، آن را استوار کنم. به نظر شما چند تیر لازم بود تا مکعب استوار شود؟ در آغاز، چنین به نظر رسید که وجود چهار تیر، اگر به درستی کار گذاشته شوند، کافی خواهد بود. ولی بعداً دریافتم در این حال بالاخره طریفی برای این‌که مکعب از حالت پایدار درآید و منعطف شود پیدا می‌شود. سپس معلوم شد که حتی مکعبی با پنج تیر مورب در پنج وجه آن، مستحکم نیست. (نگاه کنید به شکل زیر.) پنج تیر مورب و شش تیر تشکیل دهنده‌ی مکعب (تشکیل دهنده‌ی اضلاع دو کنج)، دو چهار وجهی تشکیل می‌دهند که توسط یک تیر مشترک (قطر ضلع تحتانی مکعب)، لولا و به هم وصل می‌شوند.

چنان‌چه این دو چهار وجهی را از دو طرف به داخل فشار دهیم دو تا از چهار نقطه‌ی اتصال مربوط به سطح تقویت نشده‌ی مکعب (سطح فوقانی) به یک‌دیگر نزدیک و دوتای دیگر از هم دور می‌شوند و به این ترتیب مکعب منعطف می‌شود. صرف نظر از این که چگونه تیرهای مورب در وجوه مکعب تعبیه شده باشند همواره راهی برای منعطف کردن مکعب وجود دارد. برای استحکام مکعب دست‌کم شش تیر مورب لازم است.
اما اگر برای استحکام بخشیدن به مکعب به جای استفاده از تیرهای مورب در وجوه مختلف، آن‌ها را چنان تعبیه کنیم که یک یال را به یال مقابل ربط دهند و از نقطه‌ی مرکزی مکعب بگذرند، چه وضعی پیش می‌آید؟ (خوانندگان می‌توانند مشکل ناشی از متقاطع شدن تیرهای قطری را که معلول شور و شوق کاری توأم با بی‌دقتی نظریه پردازان است نادیده انگارند.)

مکعب‌های تقویت شده با چنین چهار تیر قطری‌ای از چنان استحکام عجیبی برخوردارند که نظریه پردازان آن‌ها را مکعب‌های دارای انعطاف‌های بی نهایت کوچک می‌نامند. به تعبیری می‌توان گفت انعطاف‌های بی‌نهایت کوچک عبارت است از حرکت یک قسمت از داربست متناسب و مرتبط با قسمتی دیگر. با این حال این حرکت آن قدر ناچیز است که حتی می‌توان گفت عملاً وجود ندارد.
بد نیست در این رابطه توضیح بیش‌تری بدهیم: مکعب تقویت شده با تیرهای قطری را در تصویر بالا مشاهده می‌کنیم. چون همه‌ی تیرهای تشکیل دهنده‌ی مکعب از مواد مرغوبی ساخته شده‌اند که امکان تغییر طول آن‌ها، ولو به مقدار بسیار جزئی، وجود ندارد، سطح فوقانی مکعب را در واقع نمی‌توان حتی به میزان بسیار اندک چرخاند (با در واقع پیچاند). با این حال می‌توان دست به کار شد و هم‌زمان سطح فوقانی و تحتانی را در دو جهت مخالف چرخاند. در حین انجام این حرکت جزئی و بسیار محدود، هیچ یک از قسمت‌های مکعب هیچ مقاومتی نخواهد کرد زیرا همه‌ی نیروهای رابط سطوح بالا و پایین مکعب با جهت چرخش زاویه‌ی قائمه می‌سازند.
اما اگر این مکعبِ تقویت شده با تیرهای قطری، از مواد متعارف ساخته می‌شد، در مقابل چرخش‌های جزئی ولی محسوس آشکارا آسیب پذیر بود و ساختارش تکان می‌خورد. (پدر من این شیوه‌ی خاصِ تقویت داربست را نادیده گرفت.) داربست‌هایی که تنها از انعطاف‌های بی‌نهایت کوچک برخوردارند، مستحکم یا سخت پا محسوب می‌شوند.
نظریه پردازانِ سخت پایی به جز برخورداری از مجموعه‌های ساختار ذهنی، یک مجموعه ابزار ذهنیِ مشتمل بر بسیاری از قضیه‌ها و تکنیک‌ها دارند که می‌توان به کمک آن‌ها و سایر چیزها مکعب را استحکام بخشید. یکی از ساده‌ترین و مؤثرترین این ابزارها به همت مهندسان قرن نوزدهم میلادی کشف شد. هر چارچوبه ای که j نقطه اتصال (مفصل) داشته باشد، حداقل 3j-6 تیر لازم دارد تا از نظر استحکام در زمره‌ی بی نهایت کوچک‌ها قرار گیرد. این قضیه را می‌توان در مورد مکعب تعمیم داد. با توجه به هشت نقطه‌ی اتصال آن داریم j=8. از این رو عدد جادویی مربوط به مکعب که از فرمول مذکور به دست می‌آید عبارت است از (3×8)-6=18. برای اثبات این امر که یک مکعب متشکل از هجده تیر (دوازده یال و شش تیر تقویت کننده) از نظر سخت پایی در زمره‌ی بی‌نهایت کوچک‌هاست می‌توان به قضیه‌ای که توسط هندسه دان روسی ا. د. الکساندروف در دهه‌ی 1940 میلادی ابداع شد استناد کرد. الکساندروف استحکام داربست‌ها را با توجه به یک چند وجهی محدب بررسی کرد. این سطوح صاف و تراش خورده شامل همه چیز، از وجوه مکعب‌ها گرفته تا سطوح تراش خورده‌ی سنگ‌های قیمتی و سطوح صیقلی گنبدهای ژئودزیکِ ریچارد باک مینستر فولر می‌شود. الکساندروف ثابت کرد که هر داربستِ مبتنی بر یکی از این شکل‌ها می‌تواند دارای استحکام بی‌نهایت کوچک‌ها باشد مشروط بر این که تیرهای افزوده شده به داربست چنان باشد که هر یک از وجوه آن مرکب از چند مثلث باشد. بدین ترتیب بنا بر قضیه‌ی الکساندروف، تقویت هر وجه مکعب با تقسیم آن به دو مثلث (یک تیر برای هر وجه) سبب سخت‌پایی مکعب می‌شود.
من به همه‌ی خوانندگانی که در درک و فهم موضوع سخت پایی مکعب‌ها دچار مشکل هستند حق می‌دهم. حتی نمودارهای ارائه شده اندکی پیچیده هستند. شاید وقت آن باشد که با فرود آمدن از فضای سه بعدی به سطح، و گام نهادن به یک فضای دو بعدی پوشیده از چارچوبه‌های مسطح مختلف، جانی تازه به قضیه‌ی سخت پایی بدمیم. هرچند که خوانندگان به راحتی می‌توانند دریابند که یک مربع را می‌شود با افزودن تنها یک تیر مورب مستحکم کرد، ولی درک و فهم این که چگونه به یک شبکه‌ی متشکل از مربع‌ها باید استحکام بخشید تا اندازه‌ای نیازمند کند و کاو و تأمل است. برای مثال، چند تیر مورب باید به یک شبکه‌ی مسطح مربع‌های چهار در چهار افزود تا انعطاف ناپذیر شود؟ برای مستحکم کردن چنین شبکه‌ای با فقط هفت تیر مورب، دو راه وجود دارد؛ اما در یکی از این دو راه، شبکه‌ی تقویت شده چندان مستحکم نیست.
گاهی اوقات کاوش در باره‌ی سخت‌پایی، مستلزم به خرج دادن انعطاف پذیری به مفهوم عینی و دقیق کلمه است. هیچ داستانی بهتر از داستان مشهور حدسیه‌ی سخت‌پایی موضوع را روشن نمی‌کند. در قرن هفدهم میلادی ریاضی‌دان فرانسوی اگوستن لویی کوشی با حسرت و شگفتی در این اندیشه شد که آیا سطوح همه‌ی چند وجهی‌های محدب مستحکم‌اند. این‌گونه سطوح، همه‌ی وجوه چند وجهی‌هایی را که بنا بر قضیه‌ی الکساندروف به صورت مثلث تقسیم بندی شده‌اند و بسیاری از چند وجهی‌های دیگر را در بر می‌گیرند. سطوح منقسم شده با وجوه آن‌ها توسط چند ضلعی‌های مستوی با تعداد ضلع‌های مختلف محدود می‌شوند. چون این شکل‌ها محدب‌اند، هیچ‌گونه فرورفتگی یا گودی در آن‌ها وجود ندارد. در سال 1813 میلادی کوشی ثابت کرد که یک چند وجهی محدب در صورتی مستحکم است که همه‌‌ی سطوح آن مثلث باشند. طبق این قضیه، هر سطح محدب متشکل از مثلث‌ها می‌تواند مستحکم باشد مشروط بر این‌که تیرهای مورب تشکیل دهنده‌ی هر مثلث با مثلث دیگر مشترک باشد.
با وجود محدود بودن قضیه‌ی کوشی – محدودیت محدب بودن سطح – ریاضی دانان رفته رفته این پرسش تردید آمیز را مطرح کردند که آیا همه‌ی سطوح متشکل از مثلث‌ها – حتی سطوحی که محدب نیستند – مستحکم هستند. به نظر می‌رسد که بتوان این‌گونه سطوح را به طریقی فشرد، پیچاند، یا از شکل انداخت. تنها لازمه‌ی انجام این کار آن است که آن‌ها از نظر توپولوژیک، ساده باشند. اگر این گونه سطوح، ناگهان واجد خاصیت کشسانی و انبساط پذیری گردند، باید (کم و بیش) کروی باشند. از این گذشته، یک سطح ساده مستلزم آن بود که هیچ قسمت آن با هیچ قسمت دیگرش مماس نباشد. ریاضی دانان گمان می‌کردند که اگر سطحی واجد همه‌ی این خصوصیت‌ها باشد در آن صورت صرف نظر از این که چگونه بر اثر فشار تغییر شکل یابد، بخشی از آن که شامل مثلث‌هاست، هیچ گونه انعطافی نمی‌پذیرد.
در طول بیش از صد سال، هیچ‌کس نه می‌توانست حدسیه‌ی سخت پایی را ثابت کند و نه می‌توانست حدسیه‌ای را که بر یک سطح غیر محدب انعطاف پذیر و تقسیم شده به مثلث‌ها مبتنی بود مردود بداند. قوی‌ترین شاهد تأیید آمیز این حدسیه وقتی ارائه شد که در سال 1974 میلادی هرمن ر. گلاک از دانشگاه پنسیلوانیا ثابت کرد که تقریباً همه‌ی این‌گونه سطوح، مستحکم هستند. به تعبیری دیگر، نمونه‌هایی از نظریات مخالف با این حدسیه اگر وجود داشت در واقع نادر بود. حتی هر ناموافقی درمی‌یافت که این امر دلیل و شاهدی محکم در تأیید بی‌اعتبار کردن حدسیه است. اما رابرت کانلی از دانشگاه کُرنِل، پس از تأمل‌های بسیار متقاعد شد که حدسیه‌ی دیرپایی نادرست بوده است. او که سطوح مختلف را که در نظرش می‌بایست انعطاف پذیر می‌بودند یکی پس از دیگری در خیال مجسم کرده بود سرانجام روزی به این واقعیت رسید که برخلاف قضیه‌ی گلاک کار می‌کرده است. دفتر کارش مملو از مدل‌هایی بود که ریاضی‌دانان آماتور با این اعتقاد که آن‌ها انعطاف پذیرند برای او فرستاده بودند. او می‌گفت قضیه‌ی گلاک در عمل پذیرفتنی نیست! کانلی که با جهان مشکلِ گلاک رو به رو بود تصمیم گرفت مکانیسم‌های مختلف، یعنی داربست‌هایی را که به باور او انعطاف پذیر بودند، بررسی کند. کانلی که کار را با یک چارچوبه‌ی بسیار ساده‌ی انعطاف پذیر شروع کرد، دانش توپولوژی خود را به کار گرفت تا با افزودن مثلث‌های ساده به چارچوبه، آن را مستحکم کند. اما روزی احساس کرد که به بن بست رسیده است، زیرا در مقابل او یک سطح غیر محدب بود که منعطف شد. اما این همان چیزی نیست که توپولوژیست‌ها آن را کره می‌خوانند. دو لبه در داخل سطح بر یک‌دیگر مماس شده‌اند مانند توپ بسکتبالِ خالی شده از باد که یک طرف آن به طرف نقطه‌ی مقابل فشرده شود. این کار آشکارا آزارنده بود. کاری بود سهل و ممتنع. پس از این بود که فکر پیچ و تاب دادن به ذهن او خطور کرد. ناگهان به این فکر افتاد که به طریقی، با ایجاد مثلث‌هایی در گرداگرد سطح – مثلث‌هایی به تعداد کافی که مانع تماس دو خط باشند – که قابلِ تا شدن باشند، لبه‌های مزاحم را به تقسیمات فرعی بخش کند. مدلی که او ساخت منعطف شد!
یک نمونه‌ی مخالف با حدسیه‌ی دیرپایی که در آثار مکتوب ریاضی منعکس شده است مربوط به سال 1978 میلادی است. کوتاه زمانی پس از بررسی‌های کانلی، ریاضی دان آلمانی موسوم به کلاوس استفن با الهام از اندیشه‌ی کانلی، یک سطحِ حتی ساده‌تر کشف کرد که منعطف می‌شد. وقتی سطح کانلی-استفن کامل شد، دو مثلث میانی از محل ضلع مشترکشان تا زده می‌شوند و به این ترتیب می‌توان با یک دست سطح را از محل تا زدگی گرفت و بالا نگاه داشت. سپس این امکان فراهم می‌شود که در حالی که دست دیگر را کاملاً به زیر مدل می‌بریم به آرامی و با دقت دور تا دور شکل را اندکی – به اندازه‌ی تقریباً ده درجه – تا بزنیم تا رأس زیرین تشکیل شود. با تشکیلِ این شکلِ ظریفِ انعطاف پذیر، مشخص می‌شود که اندازه و مقدار این سطح، پس از تغییر شکل ثابت می‌ماند. کانلی هم‌چنین در این اندیشه بود که آیا خاصیت مقدار ثابت در موردِ تمام سطوح انعطاف پذیر و غیر محدبِ تقسیم شده به مثلث‌ها مصداق دارد. اگر کانلی کمان می‌کند که چنین است، او خود باید انعطاف پذیر باشد! شاید برخی از مدعیانِ تازه گام نهاده در عرصه‌ی نظریه پردازیِ سخت پایی مثالی در رد اندیشه‌ی کانلی بیابند. من خود، به عنوان مثلاً یک مدعی نوپا، پدرم را به خاطر در هم شکسته شدنِ چارچوبه تا اندازه‌ای دچار نگرانی و زحمت کردم. اما در ظرف چند ساعت پس از این حادثه، داربست، دوباره ساخته و برپا شد. این بار، داربست عینِ داربست قبلی بود با این تفاوت که یک تیر صنوبر اضافی داشت. پدرم با اطمینان خاطر از داربست بالا رفت. من مطمئنم که لرزش‌های خفیفی که با بالا رفتن او در داربست به چشم دیدم از نوع همان انعطاف‌های بی‌نهایت کوچک‌ها بود.